Utilizador:
Modelo de renda
Storyboard 
Com base no conceito de Peter Turchin (1), que sugere que a sociedade pode ser dividida em dois segmentos principais, podemos distinguir entre o primeiro, que chamaremos de "população", e o segundo, conhecido como "elite". De acordo com essa perspectiva, a elite exerce controle sobre a população e explora seus recursos, o que pode levar a tensões e tentativas da elite de restringir as liberdades da população.
No entanto, também é observado que quando o número de indivíduos na elite cresce desproporcionalmente, surge uma competição por recursos disponíveis. Essa rivalidade pode levar à paralisação da população, efetivamente utilizada para servir aos objetivos da elite. Nessas circunstâncias, há um risco de desestabilização na estrutura social, uma situação que só pode ser amenizada pela redução do número de membros da elite.
A abordagem aqui apresentada se baseia nas ideias apresentadas por Turchin em sua obra "Historical Dynamics" (Princeton University Press, 2019) e propõe um modelo alternativo baseado na análise das interações sócio-físicas.
(1) Turchin, Peter. "Historical Dynamics." Princeton University Press, 2019.
ID:(77, 0)
O conceito do modelo
Descrição
Dois temas complementares se entrelaçam aqui. Por um lado, temos a estrutura socioeconômica existente em um determinado momento, que podemos chamar de estado atual do sistema. Por outro lado, temos a evolução desses fatores ao longo do tempo. No modelo de Turchin, as condições iniciais são definidas e equações do tipo Lotka-Volterra são estabelecidas para elucidar como os parâmetros variam com base em suas interações.
Nesse caso, estamos moldando uma estrutura distinta. Variáveis socioeconômicas são introduzidas e sua ligação com parâmetros econômicos e demográficos é estabelecida, permitindo a estimativa de seus valores para cada país. Posteriormente, evoluções são consideradas usando modelos econômicos e demográficos da situação, levando finalmente a uma estimativa da trajetória das variáveis-chave dentro do modelo.
ID:(331, 0)
Populações Modelo
Equação
A sociedade é modelada como composta por dois grupos. O primeiro é a população comum, representada por $n_p$. A isso se adiciona o número de indivíduos que compõem a elite, que chamaremos de $n_e$. A soma desses dois valores deve ser igual ao número total de indivíduos na população, que denotaremos como $N$.
 $ n_p + n_e = N $ |
Para simplificar o processo de modelagem, assumiremos que esses números representam as respectivas populações totais, incluindo as famílias daqueles que participam das atividades sociais, como trabalho, gestão ou investimento.
ID:(332, 0)
Renda no modelo
Equação
Cada grupo social possui sua renda, que corresponde à parcela do produto interno bruto à qual eles têm acesso, independentemente da forma como a adquirem. Se o produto interno bruto total for $E$, e a renda média por pessoa da população for $\epsilon_p$, enquanto a da elite for $\epsilon_e$, temos que o total deve ser
| $ n_p \epsilon_p + n_e \epsilon_e = E $ |
Essa é uma simplificação, uma vez que as rendas por pessoa são variáveis em ambos os grupos. No entanto, elas devem ser entendidas como valores médios, e a simplificação nos permitirá, na verdade, estimar os níveis com base em outros dados econômicos e demográficos conhecidos.
ID:(333, 0)
Fração da população
Equação
A fração da população de cada tipo, com $i=p$ para a população comum e $i=e$ para a elite, é definida em termos do número de cada grupo $n_i$ e do total $N$, utilizando a fórmula:
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
Essa abordagem facilitará a simplificação na resolução das equações.
ID:(334, 0)
Fração de renda
Equação
A fração da população de cada tipo, com $i=p$ para a população comum e $i=e$ para a elite, é definida em termos do número de cada grupo $n_i$ e do total $N$, utilizando a fórmula:
| $ q_i = \displaystyle\frac{ n_i \epsilon_i }{ E }$ |
Essa abordagem facilitará a simplificação na resolução das equações.
ID:(335, 0)
Normalização da fração da população
Equação
A condição de normalização das frações da população $p_p$ para a população comum e $p_e$ para a elite é a seguinte:
| $ p_p + p_e = 1 $ |
Uma vez que a soma das populações é igual ao número total,
| $ n_p + n_e = N $ |
obtemos dividindo essa expressão pelo número total $N$ e usando a definição da fração,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
a expressão resultante é
| $ p_p + p_e = 1 $ |
ID:(336, 0)
Normalização da fração da renda
Equação
A condição de normalização das frações de renda $q_p$ para a população comum e $q_e$ para a elite é a seguinte:
| $ q_p + q_e = 1 $ |
Uma vez que a soma das populações é igual ao número total,
| $ n_p + n_e = N $ |
obtemos dividindo essa expressão pelo número total $N$ e usando a definição da fração,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
a expressão resultante é
| $ q_p + q_e = 1 $ |
ID:(337, 0)
Coeficiente de Gini
Descrição
O coeficiente de Gini é uma medida que avalia a equidade econômica em uma sociedade, fornecendo informações sobre a distribuição de renda entre sua população. Para calculá-lo, a curva de Lorenz é traçada primeiro, ilustrando como os rendimentos se acumulam em relação à população ordenada dos níveis de renda mais baixos para os mais altos.
No caso ideal de igualdade perfeita, onde todos têm o mesmo rendimento, a curva de Lorenz seria uma linha diagonal reta no gráfico representando a fração da população versus a fração da renda acumulada. No entanto, em sociedades com altos níveis de desigualdade, a curva de Lorenz se desvia da diagonal e se curva em direção ao eixo da fração de renda acumulada, ascendendo mais acentuadamente em direção ao final.
O coeficiente de Gini é calculado como a razão entre a área entre a diagonal e a curva de Lorenz (representada como A) e a área sob a linha que representa a igualdade perfeita de renda (representada como A+B). Matematicamente, é expresso como:
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A + B}$
ID:(338, 0)
O Gini do modelo
Equação
Se considerarmos uma sociedade com apenas dois níveis de renda, o diagrama de Gini se simplifica nas linhas vermelhas e verdes representadas na ilustração a seguir:
Nesse diagrama, as proporções da população são representadas por $p_p$ e $p_e$, enquanto as proporções de renda são representadas por $q_p$ e $q_e$. Essa configuração permite o cálculo de áreas para estimar o coeficiente de Gini, que pode ser derivado da seguinte forma:
| $ Gini = q_e - p_e $ |
A área B, como indicada no gráfico, é igual à soma dos triângulos com as hipotenusas coloridas mais o retângulo no canto inferior direito:
$B = \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n + p_eq_n + \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
A área A e B é igual ao triângulo abaixo da linha de igualdade social, que é igual a 1/2:
$A + B = \displaystyle\frac{1}{2}$
portanto, a área de A é
$A = A + B - B = \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n - p_eq_n - \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
Portanto, o coeficiente de Gini é
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A+B}=1-p_nq_n-2p_eq_n-p_eq_e$
o que, com
| $ p_p + p_e = 1 $ |
e
| $ q_p + q_e = 1 $ |
se reduz a
| $ Gini = q_e - p_e $ |
ID:(339, 0)
Outro índice de Gini do modelo
Equação
Outra relação que pode ser obtida para o modelo de renda de dois níveis é derivada a partir de
| $ Gini = q_e - p_e $ |
a qual, por meio das equações de normalização, pode ser expressa usando as frações respectivas da população $p_p$ e seus rendimentos $q_p$:
| $ Gini = p_p - q_p $ |
Se substituirmos as frações da elite $p_e$ e seus rendimentos $q_e$ em
| $ Gini = q_e - p_e $ |
pelos da população obtidos das relações de normalização
| $ p_p + p_e = 1 $ |
e
| $ q_p + q_e = 1 $ |
obtemos
| $ Gini = p_p - q_p $ |
ID:(340, 0)
Distribuição canônica de renda
Equação
Na mecânica estatística, é introduzida a distribuição canônica para estimar o número de partículas $n(\epsilon)$ que ocupam um estado de energia $\epsilon$ usando a equação:
$n(\epsilon) d\epsilon = C e^{-\beta\epsilon} d\epsilon$
Aqui, o fator $\beta$ está relacionado com a temperatura $T$ da seguinte forma:
$\beta = \displaystyle\frac{1}{k_B T}$
onde $k_B$ é a constante de Boltzmann.
Na econofísica, a renda frequentemente é associada à energia, o que nos permite usar a mesma distribuição reinterpretando $\epsilon$ como renda. A constante de normalização $C$ pode ser determinada de modo que, dado que a renda total é $E$ e o número total de indivíduos é $N$, a distribuição das pessoas com base na renda $\epsilon$ deve ser:
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
O significado de $\beta$ ou, alternativamente, da temperatura $T$, se tornará mais claro na discussão subsequente.
ID:(341, 0)
Fator populacional da curva de Lorenz
Equação
Ao examinar a distribuição da população com base em seus rendimentos, representada pela equação
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
,
é possível determinar o número de indivíduos com rendimentos abaixo de um limite dado, denotado como $\epsilon$.
A função $p(\epsilon)$ reflete a proporção de pessoas com rendimentos abaixo de $\epsilon$, e essa proporção é obtida dividindo a distribuição pela população total, $N$:
$p(\epsilon) = \displaystyle\frac{\beta}{1- e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} du e^{-\beta u}$
Ao resolver esta integral, a equação simplifica-se para:
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Esse parâmetro é fundamental na curva de Lorenz do modelo e descreve a composição da população em relação à distribuição de renda.
ID:(342, 0)
Equação do Fator Populacional
Equação
Se avaliarmos a proporção da população com rendimentos iguais ou inferiores a $\epsilon_p$, é possível estimá-la usando
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Como a proporção é igual a $p_p$, segue-se que no limite de $\beta E\gg 0$, temos
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(344, 0)
Fator de renda da curva de Lorenz
Equação
Conforme ao modelo, a renda acumulada das pessoas com rendimentos inferiores a $\epsilon$ pode ser calculada integrando o número de pessoas:
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
ponderado pelos seus respetivos rendimentos, ou seja:
$\displaystyle\frac{N\beta}{1-e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} u e^{-\beta u} du$
Ao integrar esta expressão e dividi-la pelo total de rendimentos, obtemos a fração de renda das pessoas que têm uma renda inferior a $\epsilon$:
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
ID:(343, 0)
Cálculo do fator $\beta$
Equação
A distribuição representada pela equação
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
ao avaliar o in $E$ deve necessariamente ser igual à unidade. No limite de um valor grande de $\beta E$ isso implica que:
| $ \beta = \displaystyle\frac{ N }{ E } $ |
Isso, por sua vez, significa que o fator $\beta$ é igual ao inverso do PIB per capita.
ID:(346, 0)
Equação do Fator de Renda
Equação
Se avaliarmos a proporção dos rendimentos correspondentes a pessoas com rendimentos iguais ou inferiores a $\epsilon_p$, podemos estimá-la usando
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
Uma vez que a proporção é igual a $q_p$, segue-se que no limite de $\beta E\gg 0$, obtemos
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(347, 0)
Gini da modelo
Equação
Ao utilizar ambas as equações para os fatores de pessoas e rendimentos, juntamente com o coeficiente de Gini para uma sociedade de dois níveis, chegamos a:
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
Ao utilizar as equações para os fatores
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
e
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
chegamos a
| $ Gini = p_p - q_p $ |
o que implica que
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
ID:(345, 0)