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Modèle de revenu
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Basé sur le concept de Peter Turchin (1), qui suggère que la société peut être divisée en deux segments principaux, nous pouvons distinguer le premier, que nous appellerons "population", et le second, connu sous le nom d '"élite". Selon cette perspective, l'élite exerce un contrôle sur la population et exploite ses ressources, ce qui peut conduire à des tensions et à des tentatives de l'élite de restreindre les libertés de la population.
Cependant, on observe également que lorsque le nombre d'individus dans l'élite augmente de manière disproportionnée, une compétition pour les ressources disponibles s'ensuit. Cette rivalité peut conduire à l'immobilisation de la population, utilisée efficacement pour servir les objectifs de l'élite. Dans ces circonstances, il y a un risque de déstabilisation de la structure sociale, une situation qui ne peut être atténuée que par la réduction du nombre de membres de l'élite.
L'approche présentée ici s'appuie sur les idées avancées par Turchin dans son ouvrage "Historical Dynamics" (Princeton University Press, 2019) et propose un modèle alternatif basé sur l'analyse des interactions socio-physiques.
(1) Turchin, Peter. "Historical Dynamics." Princeton University Press, 2019.
ID:(77, 0)
Le concept du modèle
Description
Deux thèmes complémentaires interviennent ici. D'une part, il y a la structure socio-économique existante à un moment donné, que nous pouvons appeler l'état actuel du système. D'autre part, nous avons l'évolution de ces facteurs dans le temps. Dans le modèle de Turchin, les conditions initiales sont définies, et des équations de type Lotka-Volterra sont établies pour expliquer comment les paramètres varient en fonction de leurs interactions.
Dans ce cas, nous élaborons un cadre distinct. Des variables socio-économiques sont introduites et leur lien avec les paramètres économiques et démographiques est établi, ce qui permet d'estimer leurs valeurs pour chaque pays. Ensuite, les évolutions sont envisagées à l'aide de modèles économiques et démographiques de la situation, ce qui conduit finalement à une estimation de la trajectoire des variables clés dans le modèle.
ID:(331, 0)
Populations modèles
Équation
La société est modélisée comme composée de deux groupes. Le premier est la population ordinaire, notée $n_p$. À cela s'ajoute le nombre d'individus constituant l'élite, que nous appellerons $n_e$. La somme de ces deux nombres doit égaler le nombre total d'individus dans la population, noté $N$.
 $ n_p + n_e = N $ |
Pour simplifier le processus de modélisation, nous supposerons que ces chiffres représentent les populations totales respectives, incluant les familles de ceux qui participent aux activités sociales, telles que le travail, la gestion ou l'investissement.
ID:(332, 0)
Revenu dans le modèle
Équation
Chaque groupe social dispose de son propre revenu, correspondant à la part du produit intérieur brut à laquelle il a accès, indépendamment de la manière dont il l'acquiert. Si le produit intérieur brut total est de $E$ et que le revenu moyen par personne dans la population est $\epsilon_p$, tandis que celui de l'élite est $\epsilon_e$, nous devons avoir au total
| $ n_p \epsilon_p + n_e \epsilon_e = E $ |
Ceci est une simplification, car les revenus individuels varient au sein des deux groupes. Cependant, ils doivent être compris comme des valeurs moyennes, et cette simplification nous permettra en réalité d'estimer les niveaux en fonction d'autres données économiques et démographiques connues.
ID:(333, 0)
Fraction de la population
Équation
La fraction de la population de chaque type, avec $i=p$ pour la population ordinaire et $i=e$ pour l'élite, est définie en fonction du nombre de chaque groupe $n_i$ et du total $N$, en utilisant la formule :
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
Cette approche simplifiera la résolution des équations.
ID:(334, 0)
Fraction de revenu
Équation
La répartition des revenus pour chaque segment de la population, avec $i=p$ pour la population ordinaire et $i=e$ pour l'élite, est définie en fonction du nombre d'individus dans chaque groupe $n_i$, du revenu de chaque groupe $\epsilon_i$ et du produit intérieur brut $E$, à travers la formule :
| $ q_i = \displaystyle\frac{ n_i \epsilon_i }{ E }$ |
Cette approche contribuera à simplifier la résolution des équations.
ID:(335, 0)
Normalisation de la fraction de la population
Équation
La condition de normalisation des fractions de population $p_p$ pour la population ordinaire et $p_e$ pour l'élite est la suivante :
| $ p_p + p_e = 1 $ |
Puisque la somme des populations est égale au nombre total,
| $ n_p + n_e = N $ |
en divisant cette expression par le nombre total $N$ et en utilisant la définition de la fraction,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
l'expression résultante est
| $ p_p + p_e = 1 $ |
ID:(336, 0)
Normalisation de la fraction de revenu
Équation
La condition de normalisation des fractions de revenus $q_p$ pour la population ordinaire et $q_e$ pour l'élite est la suivante :
| $ q_p + q_e = 1 $ |
Puisque la somme des populations est égale au nombre total,
| $ n_p + n_e = N $ |
en divisant cette expression par le nombre total $N$ et en utilisant la définition de la fraction,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
l'expression résultante est
| $ q_p + q_e = 1 $ |
ID:(337, 0)
Coefficient de Gini
Description
Le coefficient de Gini est une mesure qui évalue l'équité économique au sein d'une société en fournissant des informations sur la répartition des revenus parmi sa population. Pour le calculer, la courbe de Lorenz est d'abord tracée, illustrant comment les revenus s'accumulent par rapport à la population ordonnée des niveaux de revenus les plus bas aux plus élevés.
Dans le cas idéal de l'égalité parfaite, où tout le monde a le même revenu, la courbe de Lorenz serait une ligne diagonale droite sur le graphique représentant la fraction de la population par rapport à la fraction de revenu accumulé. Cependant, dans les sociétés avec des niveaux élevés d'inégalité, la courbe de Lorenz s'éloigne de la diagonale et se courbe vers l'axe de la fraction de revenu accumulé, montant plus fortement vers la fin.
Le coefficient de Gini est calculé comme le rapport entre la surface entre la diagonale et la courbe de Lorenz (représentée par A) et la surface sous la ligne représentant l'égalité parfaite des revenus (représentée par A+B). Mathématiquement, il est exprimé comme:
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A + B}$
ID:(338, 0)
Le Gini du modèle
Équation
Si l'on considère une société avec seulement deux niveaux de revenus, le diagramme de Gini se simplifie en lignes rouges et vertes représentées dans l'illustration suivante:
Dans ce diagramme, les proportions de la population sont représentées par $p_p$ et $p_e$, tandis que les proportions de revenu sont représentées par $q_p$ et $q_e$. Cette configuration permet le calcul de zones pour estimer le coefficient de Gini, qui peut être dérivé comme suit:
| $ Gini = q_e - p_e $ |
La zone B, comme indiqué sur le graphique, est égale à la somme des triangles avec les hypoténuses colorées plus le rectangle dans le coin inférieur droit:
$B = \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n + p_eq_n + \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
La zone A et B est égale au triangle sous la ligne de société égale, qui est égal à 1/2:
$A + B = \displaystyle\frac{1}{2}$
par conséquent, la zone de A est
$A = A + B - B = \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n - p_eq_n - \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
Par conséquent, le coefficient de Gini est
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A+B}=1-p_nq_n-2p_eq_n-p_eq_e$
ce qui, avec
| $ p_p + p_e = 1 $ |
et
| $ q_p + q_e = 1 $ |
se réduit à
| $ Gini = q_e - p_e $ |
ID:(339, 0)
Un autre rapport de Gini du modèle
Équation
Une autre relation qui peut être dérivée pour le modèle à deux niveaux de revenus est obtenue à partir de
| $ Gini = q_e - p_e $ |
qui, à travers les équations de normalisation, peut être exprimée en utilisant les fractions respectives de la population $p_p$ et de leurs revenus $q_p$:
| $ Gini = p_p - q_p $ |
Si nous remplaçons dans
| $ Gini = q_e - p_e $ |
les fractions de l'élite $p_e$ et de leurs revenus $q_e$ par celles de la population obtenues à partir des relations de normalisation
| $ p_p + p_e = 1 $ |
et
| $ q_p + q_e = 1 $ |
nous obtenons
| $ Gini = p_p - q_p $ |
ID:(340, 0)
Distribution canonique pour le revenu
Équation
En mécanique statistique, on introduit la distribution canonique pour estimer le nombre de particules $n(\epsilon)$ occupant un état d'énergie $\epsilon$ à l'aide de l'équation :
$n(\epsilon) d\epsilon = C e^{-\beta\epsilon} d\epsilon$
Ici, le facteur $\beta$ est lié à la température $T$ comme suit :
$\beta = \displaystyle\frac{1}{k_B T}$
où $k_B$ est la constante de Boltzmann.
En éconophysique, le revenu est souvent associé à l'énergie, ce qui nous permet d'utiliser la même distribution en réinterprétant $\epsilon$ comme le revenu. La constante de normalisation $C$ peut être déterminée de manière à ce que, étant donné que le revenu total est $E$ et que le nombre total d'individus est $N$, la distribution des personnes en fonction du revenu $\epsilon$ doit être :
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
La signification de $\beta$ ou, en alternative, de la température $T$, deviendra plus claire dans la discussion ultérieure.
ID:(341, 0)
Facteur de population de la courbe de Lorenz
Équation
En examinant la répartition de la population en fonction de leurs revenus, telle que représentée par l'équation
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
,
il est possible de déterminer le nombre d'individus ayant des revenus en dessous d'un seuil donné, noté $\epsilon$.
La fonction $p(\epsilon)$ reflète la proportion de personnes ayant des revenus inférieurs à $\epsilon$, et cette proportion est obtenue en divisant la distribution par la population totale, $N$ :
$p(\epsilon) = \displaystyle\frac{\beta}{1- e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} du e^{-\beta u}$
En résolvant cette intégrale, l'équation se simplifie en :
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Ce paramètre est essentiel dans la courbe de Lorenz du modèle et décrit la composition de la population par rapport à la répartition des revenus.
ID:(342, 0)
Équation du facteur de population
Équation
Si l'on évalue la proportion de la population ayant des revenus égaux ou inférieurs à $\epsilon_p$, on peut l'estimer à l'aide de
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Comme la proportion est égale à $p_p$, il en découle que dans la limite de $\beta E\gg 0$, on a
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(344, 0)
Facteur de revenu de la courbe de Lorenz
Équation
Selon le modèle, le revenu cumulé des individus ayant des revenus inférieurs à $\epsilon$ peut être calculé en intégrant le nombre d'individus :
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
pondéré par leurs revenus respectifs, c'est-à-dire :
$\displaystyle\frac{N\beta}{1-e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} u e^{-\beta u} du$
En intégrant cette expression et en la divisant par le revenu total, nous obtenons la fraction du revenu pour les individus ayant un revenu inférieur à $\epsilon$ :
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
ID:(343, 0)
Calcul du facteur $\beta$
Équation
La distribution donnée par l'équation
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
lors de l'évaluation du en $E$, il doit nécessairement être égal à l'unité. Dans la limite d'une grande valeur de $\beta E$ cela implique que:
| $ \beta = \displaystyle\frac{ N }{ E } $ |
Cela signifie à son tour que le facteur $\beta$ est égal à l'inverse du PIB par habitant.
ID:(346, 0)
Équation du facteur de revenu
Équation
Si nous évaluons la proportion des revenus correspondant aux individus ayant des revenus égaux ou inférieurs à $\epsilon_p$, nous pouvons l'estimer en utilisant
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
Étant donné que la proportion est égale à $q_p$, il en découle que dans la limite de $\beta E\gg 0$, nous obtenons
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(347, 0)
Gini du modèle
Équation
En utilisant les deux équations pour les facteurs des individus et des revenus, ainsi que le coefficient de Gini pour une société à deux niveaux, nous aboutissons à :
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
En utilisant les équations pour les facteurs
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
et
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
nous aboutissons à
| $ Gini = p_p - q_p $ |
ce qui implique que
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
ID:(345, 0)