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Modelo ingresos
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Basándonos en la concepción original de Peter Turchin (1), que postula la división de la sociedad en dos estratos principales, podemos establecer una distinción entre el primero, que denominaremos "población", y el segundo, conocido como "élite". Según esta perspectiva, la élite ejerce un control sobre la población y explota sus recursos, lo que puede generar tensiones y llevar a intentos de la élite por restringir las libertades de la población.
No obstante, también se observa que cuando el número de individuos pertenecientes a la élite crece desproporcionadamente, se inicia una competencia por los recursos disponibles. Esta rivalidad puede llevar a la paralización de la población, utilizada como herramienta para los objetivos de la élite. En estas circunstancias, se corre el riesgo de desestabilización en la estructura social, situación que solo puede ser mitigada si se logra reducir la cantidad de miembros de la élite.
El enfoque aquí presente toma como punto de partida las ideas presentadas por Turchin en su obra "Historical Dynamics" (Princeton University Press, 2019) y propone un modelo alternativo basado en el análisis de las interacciones sociofísicas.
(1) Turchin, Peter. "Historical Dynamics." Princeton University Press, 2019.
ID:(77, 0)
El concepto del modelo
Descripción
Se entrelazan dos temas esenciales que se complementan mutuamente. Por un lado, encontramos la estructura socioeconómica que impera en un momento dado, lo que podríamos denominar como el estado actual del sistema. Por otro lado, se encuentra la evolución de estos factores a lo largo del tiempo. En el modelo propuesto por Turchin, se identifican los primeros y se establecen ecuaciones al estilo de Lotka-Volterra para describir cómo los parámetros varían en función de sus interacciones.
En esta perspectiva, presentamos un enfoque divergente. Se introducen variables socioeconómicas y se establecen sus interrelaciones con parámetros económicos y demográficos, lo que permite la estimación de sus valores para cada país. Luego, se consideran las evoluciones a través de modelos tanto económicos como demográficos de la situación, lo que nos conduce a estimar la trayectoria de las variables clave del modelo.
ID:(331, 0)
Poblaciones del modelo
Ecuación
La sociedad se presenta en este modelo como compuesta por dos grupos. En primer lugar, está la población común, cuya cantidad se denota como $n_p$. A esta cifra se agrega el número de individuos que conforman la élite, al cual nos referiremos como $n_e$. La suma de ambas cantidades debe equivaler al número total de personas en la población, que llamaremos $N$.
 $ n_p + n_e = N $ |
Para facilitar el proceso de modelado, asumiremos que estos números representan las poblaciones totales respectivas, lo cual incluye a las familias de aquellos que desempeñan roles en la sociedad, es decir, aquellos que trabajan, gestionan o invierten.
ID:(332, 0)
Ingresos en el modelo
Ecuación
Cada grupo social posee su ingreso, que corresponde a la parte del producto interno bruto a la cual tienen acceso, independientemente de la forma en que lo adquieran. Si el producto interno bruto total es $E$, y el ingreso promedio por persona de la población es $\epsilon_p$, mientras que el de la élite es $\epsilon_e$, debemos tener en total
| $ n_p \epsilon_p + n_e \epsilon_e = E $ |
Esta es una simplificación, ya que los ingresos por persona varían en ambos grupos. Sin embargo, deben entenderse como valores promedio, y la simplificación en realidad nos permitirá estimar los niveles en función de otros datos económicos y demográficos conocidos.
ID:(333, 0)
Fracción de la población
Ecuación
La proporción de la población de cada tipo, con $i=p$ para la población común y $i=e$ para la élite, se define en función del número de cada grupo $n_i$ y el total $N$, a través de la fórmula:
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
Esta estrategia facilitará la simplificación en la resolución de las ecuaciones.
ID:(334, 0)
Fracción de los ingresos
Ecuación
La distribución de los ingresos para cada segmento de la población, con $i=p$ para la población ordinaria y $i=e$ para la élite, se establece en relación al número de individuos en cada grupo $n_i$, los ingresos de cada grupo $\epsilon_i$ y el producto interno bruto $E$, mediante la fórmula:
| $ q_i = \displaystyle\frac{ n_i \epsilon_i }{ E }$ |
Este enfoque contribuirá a simplificar la resolución de las ecuaciones.
ID:(335, 0)
Normalización de la fracción de la población
Ecuación
La condición de normalización de las fracciones de población $p_p$ para la población común y $p_e$ para la élite es la siguiente:
| $ p_p + p_e = 1 $ |
Dado que la suma de las poblaciones es igual al número total,
| $ n_p + n_e = N $ |
obtenemos al dividir esta expresión por el número total $N$ y utilizando la definición de la fracción,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
la expresión resultante es
| $ p_p + p_e = 1 $ |
ID:(336, 0)
Normalización de la fracción de los ingresos
Ecuación
La condición de normalización de las fracciones de ingresos $q_p$ para la población común y $q_e$ para la élite es la siguiente:
| $ q_p + q_e = 1 $ |
Dado que la suma de las poblaciones es igual al número total,
| $ n_p + n_e = N $ |
obtenemos al dividir esta expresión por el número total $N$ y utilizando la definición de la fracción,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
la expresión resultante es
| $ q_p + q_e = 1 $ |
ID:(337, 0)
El coeficiente de Gini
Descripción
El coeficiente de Gini es una medida que evalúa la equidad económica en una sociedad, proporcionando información sobre la distribución de ingresos entre su población. Para calcularlo, se traza primero la curva de Lorenz, que ilustra cómo se acumulan los ingresos en relación con la población ordenada de menor a mayor nivel de ingresos.
En el caso ideal de igualdad perfecta, donde todos tienen el mismo ingreso, la curva de Lorenz sería una línea recta diagonal en el gráfico que representa la fracción de población frente a la fracción de ingresos acumulados. Sin embargo, en sociedades con altos niveles de desigualdad, la curva de Lorenz se aleja de la diagonal y se curva hacia el eje de fracción de ingresos acumulados, ascendiendo de manera más pronunciada hacia el final.
El coeficiente de Gini se calcula como la proporción entre el área entre la diagonal y la curva de Lorenz (representada como "A") y el área bajo la línea que representa la igualdad perfecta de ingresos (representada como "A+B"). Matemáticamente, se expresa como:
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A + B}$
ID:(338, 0)
El Gini del modelo
Ecuación
Si se asume una sociedad con solo dos niveles de ingreso el diagrama de Gini pasa a ser las rectas rojas y verdes en el siguiente diagrama:
Este diagram muestra las proprociones de la población $p_p$ y $p_e$ de la proporción de los ingresos $q_p$ y $q_e$. Con ello se puede calcular las zonas para estimar el coeficiente de Gini que da
| $ Gini = q_e - p_e $ |
El area B, como se indica en la grafica, es igual a la suma de los triangulos con las hipotenusas de colores mas el rectangulo en la esquina inferior derecha:
$B = \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n + p_eq_n + \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
El area A y B es igual al triangulo debajo de la linea de sociedad igualitaria que es igual a 1/2:
$A + B = \displaystyle\frac{1}{2}$
por ello el area de A es
$A = A + B - B = \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n - p_eq_n - \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
Por ello el coeficiente de Gini es
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A+B}=1-p_nq_n-2p_eq_n-p_eq_e$
que con
| $ p_p + p_e = 1 $ |
y
| $ q_p + q_e = 1 $ |
se reduce a
| $ Gini = q_e - p_e $ |
ID:(339, 0)
Otra relación de Gini del modelo
Ecuación
Otra relación que se puede derivar para el modelo de dos niveles de ingresos se obtiene a partir de
| $ Gini = q_e - p_e $ |
la cual, a través de ecuaciones de normalización, puede ser expresada utilizando las fracciones respectivas de la población $p_p$ y sus ingresos $q_p$:
| $ Gini = p_p - q_p $ |
Si reemplazamos en
| $ Gini = q_e - p_e $ |
las fracciones de la élite $p_e$ y sus ingresos $q_e$ por aquellas de la población obtenidas de las relaciones de normalización
| $ p_p + p_e = 1 $ |
y
| $ q_p + q_e = 1 $ |
obtenemos
| $ Gini = p_p - q_p $ |
ID:(340, 0)
Distribución canonica para el ingreso
Ecuación
En la mecánica estadística, se introduce la distribución canónica para estimar el número de partículas $n(\epsilon)$ que ocupan un estado energético $\epsilon$, mediante la ecuación:
$n(\epsilon) d\epsilon = C e^{-\beta\epsilon} d\epsilon$
Donde el factor $\beta$ está relacionado con la temperatura $T$ de la siguiente manera:
$\beta = \displaystyle\frac{1}{k_B T}$
siendo $k_B$ la constante de Boltzmann.
En la econofísica, el ingreso se asocia a menudo con la energía, lo que nos permite emplear la misma distribución, reinterpretando $\epsilon$ como el ingreso. La constante de normalización $C$ se puede determinar de tal manera que, dado que el ingreso total es $E$ y el número total de personas es $N$, la distribución de personas en función de los ingresos $\epsilon$ debe ser:
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
El significado de $\beta$ o, en su defecto, de la temperatura $T$, se comprenderá mejor en los siguientes pasos.
ID:(341, 0)
Factor población de curva de Lorenz
Ecuación
Al examinar la distribución de la población en función de sus ingresos, representada por la ecuación
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
,
es posible determinar el número de individuos con ingresos por debajo de un umbral dado, denotado como $\epsilon$.
La función $p(\epsilon)$ refleja la proporción de personas con ingresos inferiores a $\epsilon$, y esta proporción se obtiene al dividir la distribución entre el total de la población, $N$:
$p(\epsilon) = \displaystyle\frac{\beta}{1- e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} du e^{-\beta u}$
Al resolver esta integral, la ecuación se simplifica a:
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Este parámetro es fundamental en la curva de Lorenz del modelo y describe la composición de la población en relación con la distribución de los ingresos.
ID:(342, 0)
Ecuación de factores de la población
Ecuación
Si evaluamos la proporción de la población que tiene ingresos iguales o inferiores a $\epsilon_p$, podemos estimarla mediante
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Dado que la proporción es igual a $p_p$, resulta que en el límite $\beta E\gg 0$, obtenemos
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(344, 0)
Factor ingresos de curva de Lorenz
Ecuación
Según el modelo, el ingreso acumulado de las personas con ingresos inferiores a $\epsilon$ se puede calcular integrando la cantidad de personas:
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
ponderada por sus respectivos ingresos, es decir:
$\displaystyle\frac{N\beta}{1-e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} u e^{-\beta u} du$
Al integrar esta expresión y dividirla por el total de los ingresos, obtenemos la fracción de los ingresos de las personas que tienen un ingreso menor a $\epsilon$:
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
ID:(343, 0)
Calculo del factor $\beta$
Ecuación
La distribución representada por la ecuación
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
al evaluar la en $E$ necesariamente debe ser igual a la unidad. En el límite de un valor grande de $\beta E$ esto implica que:
| $ \beta = \displaystyle\frac{ N }{ E } $ |
Esto a su vez significa que el factor $\beta$ es igual al inverso del PIB per cápita.
ID:(346, 0)
Ecuación de factores del ingreso
Ecuación
Si evaluamos la proporción de los ingresos que corresponden a rentas iguales o inferiores a $\epsilon_p$, podemos estimarla a través de
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
Dado que la proporción es equivalente a $q_p$, llegamos a que en el límite $\beta E\gg 0$, se obtiene
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(347, 0)
Gini del modelo
Ecuación
Utilizando ambas ecuaciones para los factores de persona e ingresos, y el factor de Gini para una sociedad de dos niveles, se llega a:
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
Usando las ecuaciones para los factores
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
y
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
se llega a
| $ Gini = p_p - q_p $ |
lo cual implica que
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
ID:(345, 0)