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Einkommensmodell
Storyboard 
Basierend auf dem Konzept von Peter Turchin (1), das besagt, dass die Gesellschaft in zwei Hauptsegmente unterteilt werden kann, können wir zwischen dem ersten Segment unterscheiden, das wir "Bevölkerung" nennen werden, und dem zweiten Segment, das als "Elite" bezeichnet wird. Gemäß dieser Perspektive übt die Elite Kontrolle über die Bevölkerung aus und nutzt deren Ressourcen aus, was zu Spannungen führen kann und dazu, dass die Elite versucht, die Freiheiten der Bevölkerung einzuschränken.
Es wird jedoch auch beobachtet, dass bei einer überproportionalen Zunahme der Mitglieder in der Elite eine Konkurrenz um verfügbare Ressourcen entsteht. Diese Rivalität kann zur Lähmung der Bevölkerung führen, die effektiv dazu genutzt wird, die Ziele der Elite zu fördern. Unter diesen Umständen besteht das Risiko einer Destabilisierung der sozialen Struktur, eine Situation, die nur durch eine Reduzierung der Anzahl der Mitglieder in der Elite abgemildert werden kann.
Der hier präsentierte Ansatz baut auf den Ideen auf, die Turchin in seinem Werk "Historical Dynamics" (Princeton University Press, 2019) vorgestellt hat, und schlägt ein alternatives Modell vor, das auf der Analyse sozial-physikalischer Interaktionen basiert.
(1) Turchin, Peter. "Historical Dynamics." Princeton University Press, 2019.
ID:(77, 0)
Das Konzept des Modells
Beschreibung
Hier spielen zwei ergänzende Themen eine Rolle. Auf der einen Seite haben wir die bestehende sozioökonomische Struktur zu einem bestimmten Zeitpunkt, die wir als den aktuellen Zustand des Systems bezeichnen können. Auf der anderen Seite haben wir die Entwicklung dieser Faktoren im Laufe der Zeit. Im Turchin-Modell werden die Anfangsbedingungen definiert und Lotka-Volterra-ähnliche Gleichungen werden aufgestellt, um zu beschreiben, wie Parameter basierend auf ihren Interaktionen variieren.
In diesem Fall entwickeln wir ein eigenes Konzept. Sozioökonomische Variablen werden eingeführt und ihre Verknüpfung mit wirtschaftlichen und demografischen Parametern wird hergestellt, was die Schätzung ihrer Werte für jedes Land ermöglicht. Anschließend werden Entwicklungen mithilfe von sowohl wirtschaftlichen als auch demografischen Modellen der Situation berücksichtigt, was letztendlich zur Schätzung der Entwicklung der Schlüsselvariablen im Modell führt.
ID:(331, 0)
Modellpopulationen
Gleichung
Die Gesellschaft wird in diesem Modell als aus zwei Gruppen bestehend dargestellt. Die erste Gruppe ist die gewöhnliche Bevölkerung, gekennzeichnet als $n_p$. Hinzu kommt die Anzahl der Individuen, die die Elite bilden, die wir als $n_e$ bezeichnen werden. Die Summe dieser beiden Größen muss der Gesamtanzahl der Individuen in der Bevölkerung entsprechen, die wir als $N$ bezeichnen.
 $ n_p + n_e = N $ |
Um den Modellierungsprozess zu erleichtern, nehmen wir an, dass diese Zahlen die jeweiligen Gesamtbevölkerungen repräsentieren, einschließlich der Familienangehörigen derjenigen, die in gesellschaftlichen Aktivitäten wie Arbeit, Management oder Investitionen tätig sind.
ID:(332, 0)
Einkommen im Modell
Gleichung
Jede soziale Gruppe verfügt über ihr Einkommen, das dem Anteil am Bruttoinlandsprodukt entspricht, auf den sie Zugriff haben, unabhängig davon, wie sie es erwerben. Wenn das gesamte Bruttoinlandsprodukt $E$ beträgt und das durchschnittliche Einkommen pro Person in der Bevölkerung $\epsilon_p$ beträgt, während das der Elite $\epsilon_e$ beträgt, muss insgesamt gelten
| $ n_p \epsilon_p + n_e \epsilon_e = E $ |
Dies ist eine Vereinfachung, da die individuellen Einkommen in beiden Gruppen variieren. Sie sollten jedoch als Durchschnittswerte verstanden werden, und diese Vereinfachung ermöglicht es uns tatsächlich, die Niveaus basierend auf anderen bekannten wirtschaftlichen und demografischen Daten abzuschätzen.
ID:(333, 0)
Bruchteil der Bevölkerung
Gleichung
Der Anteil der Bevölkerung jedes Typs, wobei $i=p$ für die normale Bevölkerung steht und $i=e$ für die Elite, wird in Abhängigkeit von der Anzahl jeder Gruppe $n_i$ und dem Gesamtwert $N$ definiert, mithilfe der Formel:
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
Dieser Ansatz wird die Lösung der Gleichungen vereinfachen.
ID:(334, 0)
Bruchteil des Einkommens
Gleichung
Die Verteilung des Einkommens für jeden Bevölkerungsabschnitt, wobei $i=p$ für die normale Bevölkerung steht und $i=e$ für die Elite, wird in Abhängigkeit von der Anzahl der Individuen in jeder Gruppe $n_i$, dem Einkommen jeder Gruppe $\epsilon_i$ und dem Bruttoinlandsprodukt $E$ definiert, durch die Formel:
| $ q_i = \displaystyle\frac{ n_i \epsilon_i }{ E }$ |
Dieser Ansatz wird dazu beitragen, die Vereinfachung bei der Lösung der Gleichungen zu unterstützen.
ID:(335, 0)
Normalisierung des Bevölkerungsanteils
Gleichung
Die Normalisierungsbedingung für die Bevölkerungsanteile $p_p$ für die normale Bevölkerung und $p_e$ für die Elite lautet wie folgt:
| $ p_p + p_e = 1 $ |
Da die Summe der Bevölkerungen gleich der Gesamtanzahl ist,
| $ n_p + n_e = N $ |
erhalten wir durch Division dieser Ausdruck durch die Gesamtanzahl $N$ und unter Verwendung der Definition des Bruchs,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
der resultierende Ausdruck lautet
| $ p_p + p_e = 1 $ |
ID:(336, 0)
Normalisierung des Einkommensanteils
Gleichung
Die Normalisierungsbedingung für die Einkommensanteile $q_p$ für die normale Bevölkerung und $q_e$ für die Elite lautet wie folgt:
| $ q_p + q_e = 1 $ |
Da die Summe der Bevölkerungen gleich der Gesamtanzahl ist,
| $ n_p + n_e = N $ |
erhalten wir durch Division dieser Ausdruck durch die Gesamtanzahl $N$ und unter Verwendung der Definition des Bruchs,
| $ p_i = \displaystyle\frac{ n_i }{ N }$ |
der resultierende Ausdruck lautet
| $ q_p + q_e = 1 $ |
ID:(337, 0)
Gini-Koeffizient
Beschreibung
Der Gini-Koeffizient ist ein Maßstab, der die wirtschaftliche Gleichheit in einer Gesellschaft bewertet, indem er Informationen über die Einkommensverteilung unter ihrer Bevölkerung liefert. Um ihn zu berechnen, wird zuerst die Lorenz-Kurve gezeichnet, die veranschaulicht, wie sich Einkommen im Verhältnis zur sortierten Bevölkerung von den niedrigsten zu den höchsten Einkommensstufen ansammeln.
Im idealen Fall der perfekten Gleichheit, in dem alle das gleiche Einkommen haben, würde die Lorenz-Kurve eine gerade diagonale Linie auf dem Diagramm darstellen, die den Anteil der Bevölkerung gegenüber dem Anteil des kumulierten Einkommens darstellt. In Gesellschaften mit hohem Maß an Ungleichheit weicht die Lorenz-Kurve jedoch von der Diagonalen ab und krümmt sich in Richtung der Achse des kumulierten Einkommensanteils, wobei sie zum Ende hin steiler ansteigt.
Der Gini-Koeffizient wird als Verhältnis des Bereichs zwischen der Diagonalen und der Lorenz-Kurve (repräsentiert durch A) zur Fläche unter der Linie, die perfekte Einkommensgleichheit repräsentiert (repräsentiert durch A+B), berechnet. Mathematisch wird er ausgedrückt als:
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A + B}$
ID:(338, 0)
Der Gini des Models
Gleichung
Wenn wir von einer Gesellschaft mit nur zwei Einkommensstufen ausgehen, vereinfacht sich das Gini-Diagramm zu den roten und grünen Linien, die in der folgenden Darstellung dargestellt sind:
In diesem Diagramm werden die Anteile der Bevölkerung durch $p_p$ und $p_e$ dargestellt, während die Anteile des Einkommens durch $q_p$ und $q_e$ repräsentiert werden. Diese Darstellung ermöglicht die Berechnung von Flächen, um den Gini-Koeffizienten zu schätzen, der wie folgt abgeleitet werden kann:
| $ Gini = q_e - p_e $ |
Die Fläche B, wie in der Grafik angegeben, entspricht der Summe der Dreiecke mit den farbigen Hypotenusen zuzüglich des Rechtecks in der unteren rechten Ecke:
$B = \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n + p_eq_n + \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
Die Fläche A und B entspricht dem Dreieck unterhalb der Linie der gleichberechtigten Gesellschaft, das gleich 1/2 ist:
$A + B = \displaystyle\frac{1}{2}$
daher ist die Fläche von A
$A = A + B - B = \displaystyle\frac{1}{2} - \displaystyle\frac{1}{2}p_nq_n - p_eq_n - \displaystyle\frac{1}{2}p_eq_e$
Daher ist der Gini-Koeffizient
$Gini = \displaystyle\frac{A}{A+B}=1-p_nq_n-2p_eq_n-p_eq_e$
was, mit
| $ p_p + p_e = 1 $ |
und
| $ q_p + q_e = 1 $ |
reduziert wird auf
| $ Gini = q_e - p_e $ |
ID:(339, 0)
Ein weiteres Gini-Verhältnis des Modells
Gleichung
Eine weitere Beziehung, die für das Zwei-Ebenen-Einkommensmodell abgeleitet werden kann, ergibt sich aus
| $ Gini = q_e - p_e $ |
die durch Normalisierungsgleichungen ausgedrückt werden kann unter Verwendung der entsprechenden Anteile der Bevölkerung $p_p$ und ihrer Einkommen $q_p$:
| $ Gini = p_p - q_p $ |
Wenn wir die Brüche der Elite $p_e$ und ihrer Einkommen $q_e$ in
| $ Gini = q_e - p_e $ |
mit denen der Bevölkerung ersetzen, die aus den Normalisierungsbeziehungen stammen
| $ p_p + p_e = 1 $ |
und
| $ q_p + q_e = 1 $ |
erhalten wir
| $ Gini = p_p - q_p $ |
ID:(340, 0)
Kanonische Einkommensverteilung
Gleichung
In der statistischen Mechanik wird die kanonische Verteilung eingeführt, um die Anzahl der Teilchen $n(\epsilon)$ abzuschätzen, die einen Energiezustand $\epsilon$ besetzen, mithilfe der Gleichung:
$n(\epsilon) d\epsilon = C e^{-\beta\epsilon} d\epsilon$
Hierbei steht der Faktor $\beta$ in Zusammenhang mit der Temperatur $T$ wie folgt:
$\beta = \displaystyle\frac{1}{k_B T}$
wobei $k_B$ die Boltzmann-Konstante ist.
In der Econophysics (Wirtschaftsphysik) wird das Einkommen oft mit Energie in Verbindung gebracht, was uns ermöglicht, dieselbe Verteilung zu verwenden, indem wir $\epsilon$ als Einkommen uminterpretieren. Die Normierungskonstante $C$ kann so bestimmt werden, dass bei gegebenem Gesamteinkommen $E$ und Gesamtanzahl der Individuen $N$ die Verteilung der Menschen basierend auf dem Einkommen $\epsilon$ sein sollte:
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
Die Bedeutung von $\beta$ oder alternativ der Temperatur $T$, wird in der folgenden Diskussion deutlicher.
ID:(341, 0)
Populationsfaktor der Lorenzkurve
Gleichung
Durch die Untersuchung der Verteilung der Bevölkerung basierend auf ihren Einkommen, wie durch die Gleichung
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
dargestellt, ist es möglich, die Anzahl der Individuen mit Einkommen unterhalb eines bestimmten Schwellenwerts zu bestimmen, der als $\epsilon$ bezeichnet wird.
Die Funktion $p(\epsilon)$ spiegelt den Anteil der Personen mit Einkommen unterhalb von $\epsilon$ wider, und dieser Anteil wird errechnet, indem die Verteilung durch die Gesamtbevölkerung $N$ dividiert wird:
$p(\epsilon) = \displaystyle\frac{\beta}{1- e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} du e^{-\beta u}$
Nach Lösung dieses Integrals vereinfacht sich die Gleichung zu:
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Dieser Parameter ist entscheidend für die Lorenz-Kurve des Modells und beschreibt die Zusammensetzung der Bevölkerung in Bezug auf die Einkommensverteilung.
ID:(342, 0)
Bevölkerungsfaktorgleichung
Gleichung
Wenn man den Anteil der Bevölkerung mit Einkommen gleich oder unterhalb von $\epsilon_p$ bewertet, kann dies geschätzt werden durch
| $ p(\epsilon) = \displaystyle\frac{1 - e^{- \beta \epsilon }}{1 - e^{ -\beta E }}$ |
Da der Anteil gleich $p_p$ ist, folgt daraus, dass im Grenzwert $\beta E\gg 0$ gilt
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(344, 0)
Einkommensfaktor der Lorenzkurve
Gleichung
Gemäß dem Modell kann das kumulierte Einkommen von Personen mit Einkommen unterhalb von $\epsilon$ berechnet werden, indem die Anzahl der Personen integriert wird:
| $ n(\epsilon) d\epsilon =\displaystyle\frac{ N \beta e^{- \beta \epsilon } d\epsilon }{1- e^{- \beta E }}$ |
gewichtet nach ihren jeweiligen Einkommen, das heißt:
$\displaystyle\frac{N\beta}{1-e^{-\beta E}}\displaystyle\int_0^{\epsilon} u e^{-\beta u} du$
Durch Integration dieses Ausdrucks und Division durch das Gesamteinkommen erhalten wir den Anteil des Einkommens für Personen, die ein Einkommen von weniger als $\epsilon$ haben:
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
ID:(343, 0)
Berechnung des Faktors $\beta$
Gleichung
Die Verteilung, die durch die Gleichung
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
bei der Auswertung in $E$ muss es unbedingt gleich der Einheit sein. Im Grenzfall eines großen Wertes von $\beta E$ bedeutet dies dass:
| $ \beta = \displaystyle\frac{ N }{ E } $ |
Dies wiederum bedeutet, dass der Faktor $\beta$ dem Kehrwert des BIP pro Kopf entspricht.
ID:(346, 0)
Einkommensfaktorgleichung
Gleichung
Wenn wir den Anteil des Einkommens bewerten, der Einkommen gleich oder unterhalb von $\epsilon_p$ entspricht, können wir dies schätzen durch
| $ q(\epsilon) = \displaystyle\frac{ N }{ \beta E }\displaystyle\frac{(1-(1+ \beta \epsilon )e^{- \beta \epsilon })}{(1-e^{- \beta E })}$ |
Da der Anteil gleich $q_p$ ist, folgt daraus, dass im Grenzwert $\beta E\gg 0$, wir erhalten
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
ID:(347, 0)
Models Gini
Gleichung
Durch die Verwendung beider Gleichungen für die Faktoren von Individuen und Einkommen sowie des Gini-Koeffizienten für eine Gesellschaft mit zwei Ebenen gelangen wir zu:
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
Durch die Verwendung der Gleichungen für die Faktoren
| $ p_p = 1 - e^{- \beta \epsilon_p }$ |
und
| $ q_p = 1 - (1+ \beta \epsilon_p )e^{- \beta \epsilon_p }$ |
gelangen wir zu
| $ Gini = p_p - q_p $ |
was impliziert, dass
| $ Gini = \beta \epsilon_p e^{ \beta \epsilon_p }$ |
ID:(345, 0)